Если в примере есть сложение и умножение что делаем первым: Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

правила и примеры (7 класс)

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений. Например, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением, содержащим переменную — например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.

Правила раскрытия скобок

Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря: 

\((a-b)=a-b\)

Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым.

Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут.

Пример. Раскройте скобку \((1+y-7x)\).
Решение: \((1+y-7x)=1+y-7x\).

Пример. Упростите выражение: \(3+(5-2x)\).
Решение: Раскрываем скобку согласно правилу, а затем приводим подобные слагаемые:


Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).


Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:

\(-(a-b)=-a+b\)

Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.

Пример: Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение: внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые.


Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение: \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть: 

\(c(a-b)=ca-cb\)

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).


Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…

— потом второе.


Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\). Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\). А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\). Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть. 
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

\(7x+2(5\)\(-(3x+y)\)\()=\)

Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.

\(=7x+2(5\)\(-3x-y\)\()=\)

Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю.

\(=7x+2·5-2·3x-2·y=\)

Упрощаем получившееся выражение…

\(=7x+10-6x-2y=\)

…и приводим подобные.

\(=x+10-2y\)

Готово.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\)\())\)

Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.

\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\)\())\)

Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.

\(=-(x\)\(+3(3x-6)\)\()=\)

Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.

\(=-(x\)\(+9x-18\)\()=\)

Вновь приводим подобные.

\(=-(10x-18)=\)

И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.

\(=-10x+18\)

Готово.

Раскрытие скобок — это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

Смотрите также:
Вынесение общего множителя за скобки

Скачать статью

Порядок действий в примерах: ответы пользователей удивляют

Бывает, что самым сложным неожиданно оказывается самое простое. И мы сейчас говорим не о рецепте человеческого счастья и тайнах атомных ядер. Возьмем порядок действий в примерах. Его проходят в начальных классах школы и, по идее, должны помнить всю жизнь.

Но тем не менее миллионы людей в Сети снова и снова ломают копья вокруг довольно незатейливых математических выражений. Причем удивительное разнообразие ответов ставит под сомнение сам статус математики как царицы точных наук. Предлагаем и тебе возможность проверить себя, назвать верный ответ и освежить в памяти подзабытые знания из старых школьных учебников.

Порядок действий в примерах

Увидев предлагаемый пример в Facebook, я, честно говоря, растерялся.

Почти 8 миллионов комментариев под задачкой на три действия? О чём тут спорить? Это же математика!

Однако реальность часто превосходит даже самые смелые фантазии. А ответы пользователей соцсети просто ставят в тупик. Рассмотрим самые распространенные, сохраняя логику и написание их авторов.

«Я думаю, что все комментирующие хотя бы доучились до 4-го класса. Слава богу, я проходил. 10 − 10 × 10 + 10 = 0 × 10 + 10 = 0 + 10 = 10»

© Depositphotos

«Хороший ответ 10», — утверждает один из комментаторов. Согласны, в нумерологии 10 – хорошее число, обещающее удачу и счастье. Вот только подходит ли 10 на роль правильного ответа?

Прокручиваем ленту дальше. «Это очень просто. Чтобы решить проблему, мы делаем (10 – 10) × (10 + 10) = 0 × 20 = 0, тогда как любое число × на 0 = 0. Результат — 0

«По правилам в первую очередь 10 × 10 = 100. 10 – 100, так как 100 больше = 90 и 90 + 10 = 100». Хм… С первой частью сложно не согласиться, но потом логика машет нам ручкой и полностью теряется из виду. А мы продолжаем дальше.

Опытные пользователи пошли особенным путем и спросили совета у Калькулятора Google. Умная программа сразу заключила 10 × 10 в скобки и выдала ответ «–80».

Что говорят правила?

Порядок вычисления выражений определяется двумя простыми правилами. Во-первых, при отсутствии скобок действия выполняются по порядку слева направо. Во-вторых, сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

© Depositphotos

Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются действия в скобках, следом в установленном порядке — умножение и деление, затем — сложение и вычитание. В этом примере нет скобок, но есть вычитание, умножение и сложение. Помня о приоритете умножения, начнем с него.

10 – 10 × 10 + 10 = 10 – 100 + 10

Теперь всё, что осталось, — это сложение и вычитание, которые выполняем слева направо. Вычитание стоит первым, когда мы смотрим на уравнение слева направо, поэтому сначала вычитаем.

10 – 10 × 10 + 10 = 10 – 100 + 10 = –90 + 10

Наконец, последний шаг — сложение.

10 – 10 × 10 + 10 = 10 – 100 + 10 = –90 + 10 = –80

Ответ: –80. А какой результат получился у тебя? Возможно, мы где-то просчитались и допустили ошибку? Выскажи свое мнение на этот счет.

© Depositphotos

Напомним, что не так давно настоящий переполох в Интернете вызвал еще один пример: 8 / 2 (2 + 2) = ? Одни пользователи уверяют, что в итоге должно получиться шестнадцать. Другие же правильным ответом считают единицу. И те и другие приводят свои доводы. Но кто из них прав?

Как освоить устный счёт школьникам и взрослым

Кроме отличных оценок по математике, умение считать в уме даёт массу преимуществ на протяжении всей жизни. Упражняясь в вычислениях без калькулятора, вы:

  • Держите мозг в тонусе. Для эффективной работы интеллект, как и мускулатура, нуждается в постоянных тренировках. Счёт в уме развивает память, логическое мышление и концентрацию, повышает способность к обучению, помогает быстрее ориентироваться в ситуации и принимать правильные решения.
  • Заботитесь о своём психическом здоровье. Исследования показывают, что при устном счёте задействованы участки мозга, ответственные за депрессию и тревожность. Чем активнее работают эти зоны, тем меньше риск неврозов и чёрной тоски.
  • Страхуетесь от проколов в бытовых ситуациях. Способность быстро посчитать сдачу, размер чаевых, количество калорий или проценты по кредиту защищает вас от незапланированных трат, лишнего веса и мошенников.

Освоить приёмы быстрого счёта можно в любом возрасте. Не беда, если сначала вы будете немного «тормозить». Ежедневно практикуйте основные арифметические операции по 10–15 минут и уже через пару месяцев достигнете заметных результатов.

Как научиться складывать в уме

Суммируем однозначные числа

Начните тренировку с элементарного уровня — сложения однозначных чисел с переходом через десяток. Эту технику осваивают в первом классе, но почему-то часто забывают с возрастом.

  • Предположим, вам нужно сложить 7 и 8.
  • Посчитайте, сколько семёрке не хватает до десяти: 10 − 7 = 3.
  • Разложите восьмёрку на сумму трёх и второй части: 8 = 3 + 5.
  • Добавьте вторую часть к десяти: 10 + 5 = 15.

Тот же приём «опоры на десятку» используйте при суммировании однозначных чисел с двузначными, трёхзначными и так далее. Оттачивайте простейшее сложение, пока не научитесь совершать одну операцию за пару секунд.

Суммируем многозначные числа

Основной принцип — разбить слагаемые числа на разряды (тысячи, сотни, десятки, единицы) и суммировать между собой одинаковые, начиная с самых крупных.

Допустим, вы прибавляете 1 574 к 689.

  • 1 574 раскладывается на четыре разряда: 1 000, 500, 70 и 4. 689 — на три: 600, 80 и 9.
  • Теперь суммируем: тысячи с тысячами (1 000 + 0 = 1 000), сотни с сотнями (500 + 600 = 1 100), десятки с десятками (70 + 80 = 150), единицы с единицами (4 + 9 = 13).
  • Группируем числа так, как нам удобно, и складываем то, что получилось: (1 000 + 1 100) + (150 + 13) = 2 100 + 163 = 2 263.

Основная сложность — удержать в голове все промежуточные результаты. Упражняясь в таком счёте, вы заодно тренируете память.

Как научиться вычитать в уме

Вычитаем однозначные числа

Снова возвращаемся в первый класс и оттачиваем навык вычитания однозначного числа с переходом через десяток.

Предположим, вы хотите отнять 8 от 35.

  • Представьте 35 в виде суммы 30 + 5.
  • Из 5 вычесть 8 нельзя, поэтому раскладываем 8 на сумму 5 + 3.
  • Вычтем 5 из 35 и получим 30. Затем отнимем от 30 оставшуюся тройку: 30 − 3 = 27.

Вычитаем многозначные числа

В отличие от сложения, при вычитании многозначных чисел на разряды нужно разбивать только то, которое вы отнимаете.

Например, вас просят отнять 347 от 932.

  • Число 347 состоит из трёх разрядных частей: 300 + 40 + 7.
  • Сначала вычитаем сотни: 932 − 300 = 632.
  • Переходим к десяткам: 632 − 40. Для удобства 40 можно представить в виде суммы 30 + 10. Сперва вычтем 30 и получим 632 − 30 = 602. Теперь отнимем от 602 оставшиеся 10 и получим 592.
  • Осталось разобраться с единицами, используя всё ту же «опору на десятку». Сперва вычитаем из 592 двойку: 592 − 2 = 590. А затем то, что осталось от семёрки: 7 − 2 = 5. Получаем: 590 − 5 = 585.

Как научиться умножать в уме

Лайфхакер уже писал о том, как быстро освоить таблицу умножения.

Добавим, что наибольшие трудности и у детей, и у взрослых вызывает умножение 7 на 8. Есть простое правило, которое поможет вам никогда не ошибаться в этом вопросе. Просто запомните: «пять, шесть, семь, восемь» — 56 = 7 × 8.

А теперь перейдём к более сложным случаям.

Умножаем однозначные числа на многозначные

По сути, здесь всё элементарно. Разбиваем многозначное число на разряды, перемножаем каждый на однозначное число и суммируем результаты.

Разберём на конкретном примере: 759 × 8.

  • Разбиваем 759 на разрядные части: 700, 50 и 9.
  • Умножаем каждый разряд по отдельности: 700 × 8 = 5 600, 50 × 8 = 400, 9 × 8 = 72.
  • Складываем результаты, разбивая их на разряды: 5 600 + 400 + 72 = 5 000 + (600 + 400) + 72 = 5 000 + 1 000 + 72 = 6 000 + 72 = 6 072.

Умножаем двузначные числа

Тут уже рука сама тянется к калькулятору или хотя бы к бумаге и ручке, чтобы воспользоваться старым добрым умножением в столбик. Хотя ничего сверхсложного в этой операции нет. Просто нужно немного потренировать краткосрочную память.

Попробуем умножить 47 на 32, разбив процесс на несколько шагов.

  • 47 × 32 — это то же, что и 47 × (30 + 2) или 47 × 30 + 47 × 2.
  • Сначала умножим 47 на 30. Проще некуда: 47 × 3 = 40 × 3 + 7 × 3 = 120 + 21 = 141. Приписываем справа нолик и получаем: 1 410.
  • Поехали дальше: 47 × 2 = 40 × 2 + 7 × 2 = 80 + 14 = 94.
  • Осталось сложить результаты: 1 410 + 94 = 1 500 + 4 = 1 504.

Этот принцип можно применять и к числам с большим количеством разрядов, но удержать в уме столько операций не каждому под силу.

Упрощаем умножение

Кроме общих правил, есть несколько лайфхаков, облегчающих умножение на определённые однозначные числа.

Умножение на 4

Можно умножить многозначное число на 2, а потом снова на 2.

Пример: 146 × 4 = (146 × 2) × 2 = (200 + 80 + 12) × 2 = 292 × 2 = 400 + 180 + 4 = 584.

Умножение на 5

Умножьте исходное число на 10, а потом разделите на 2.

Пример: 489 × 5 = 4 890 / 2 = 2 445.

Умножение
на 9

Умножьте на 10, а затем отнимите от результата исходное число.

Пример: 573 × 9 = 5 730 − 573 = 5 730 − (500 + 70 + 3) = 5 230 − (30 + 40) − 3 = 5 200 − 40 − 3 = 5 160 − 3 = 5 157.

Умножение на 11

Приём сводится к следующему: впереди и сзади подставляем первую и последнюю цифры исходного числа. А между ними последовательно суммируем все цифры.

При умножении на двузначное число всё выглядит крайне просто.

Пример: 36 × 11 = 3(3+6)6 = 396.

Если сумма переходит через десяток, в центре остаётся разряд единиц, а к первой цифре добавляем один.

Пример: 37 × 11 = 3(3+7)7 = 3(10)7 = 407.

Чуть сложнее с умножением на более крупные числа.

Пример: 543 × 11 = 5(5+4)(4+3)3 = 5 973.

Как научиться делить в уме

Это операция, обратная умножению, поэтому и успех во многом зависит от знания всё той же школьной таблицы. Остальное — дело практики.

Делим на однозначное число

Для этого разбиваем исходное многозначное число на удобные части, которые точно будут делиться на наше однозначное.

Попробуем разделить 2 436 на 7.

  • Выделим из 2 436 наибольшую часть, которая нацело разделится на 7. В нашем случае это 2 100. Получаем (2 100 + 336) / 7.
  • Продолжаем в том же духе, только теперь с числом 336. Очевидно, что на 7 разделится 280. А в остатке будет 56.
  • Теперь делим каждую часть на 7: (2 100 + 280 + 56) / 7 = 300 + 40 + 8 = 348.

Делим на двузначное число

Это уже высший пилотаж, но мы всё равно попытаемся.
Предположим, вам надо поделить 1 128 на 24.

  • Прикидываем, сколько раз 24 может поместиться в 1 128. Очевидно, что 1 128 примерно в два раза меньше, чем 24 × 100 (2 400). Поэтому для «пристрелки» возьмём множитель 50: 24 × 50 = 1 200.
  • До 1 200 нашему делимому 1 128 не хватает 72. Сколько раз 24 поместится в 72? Правильно, 3. А значит, 1 128 = 24 × 50 − 24 × 3 = 24 × (50 − 3) = 24 × 47. Стало быть, 1128 / 24 = 47.

Мы взяли не самый трудный пример, но пользуясь методом «пристрелки» и дроблением на удобные части, вы научитесь совершать и более сложные операции.

Что поможет освоить устный счёт

Для упражнений придётся ежедневно придумывать новые и новые примеры, только если вы сами этого хотите. В противном случае воспользуйтесь другими доступными способами.

Настольные игры

Играя в те, где необходимо постоянно вычислять в уме, вы не просто учитесь быстро считать. А совмещаете полезное с приятным времяпрепровождением в кругу семьи или друзей.

Карточные забавы вроде «Уно» и всевозможные варианты математического домино позволяют школьникам играючи освоить простое сложение, вычитание, умножение и деление. Более сложные экономические стратегии а-ля «Монополия» развивают финансовое чутьё и оттачивают сложные навыки счёта.

Что купить
  • «Уно»;
  • «7 на 9»;
  • «7 на 9 multi»;
  • «Трафик Джем»;
  • «Хекмек»;
  • «Математическое домино»;
  • «Умножариум»;
  • «Код фараона»;
  • «Суперфермер»;
  • «Монополия».

Мобильные приложения

С ними вы сможете довести устный счёт до автоматизма. Большинство из них предлагают решить примеры на сложение, вычитание, умножение и деление по программе младших классов. Но вы удивитесь, насколько это непросто. Особенно если задачи нужно щёлкать на время, без ручки и бумаги.

Математика: устный счёт, таблица умножения

Охватывает задания на устный счёт, которые соответствуют 1–6 классам школьной программы, включая и задачи на проценты. Позволяет тренировать скорость и качество счёта, а также настраивать сложность. Например, от простой таблицы умножения можно перейти к умножению и делению двузначных и трёхзначных чисел.

Математика в уме

Ещё один простой и понятный тренажёр устного счёта с подробной статистикой и настраиваемой сложностью.

1 001 задача для счёта в уме

В приложении используются примеры из пособия по математике «1 001 задача для умственного счёта», которое ещё в XIX веке составил учёный и педагог Сергей Рачинский.

Математические хитрости

Приложение позволяет легко и ненавязчиво освоить основные математические приёмы, которые облегчают и ускоряют устный счёт. Каждый приём можно отработать в тренировочном режиме. А потом поиграть на скорость вычислений с собой или соперником.

Quick Brain

Цель игры — правильно решить как можно больше математических примеров за определённый промежуток времени. Тренирует знание таблицы умножения, сложение и вычитание. А ещё содержит популярный математический пазл «2 048».

Веб-сервисы

Регулярно заниматься интеллектуальной зарядкой с числами можно и на математических онлайн-тренажёрах. Выбирайте необходимый вам тип действия и уровень сложности — и вперёд, к новым интеллектуальным вершинам. Вот лишь несколько вариантов.

  • Математика.Club — тренажёр устного счёта.
  • Школа Аристова — тренажёр устного счёта (охватывает двузначные и трёхзначные числа).
  • «Развивайка» — тренировка устного счёта в пределах ста.
  • 7gy.ru — тренажёр по математике (вычисления в пределах ста).
  • Chisloboy — онлайн-игра на развитие скорости счёта.
  • kid-mama — тренажёры по математике для 0–6 классов.

Читайте также 🧠🎓😤

Почему умножение и деление «приоритетнее» сложения и вычитания

https://a-rodionova.livejournal.com/67729.html#t592017

Месяц назад на Рамблере появилась сообщение о том, что появившийся в твиттере пример 8:2(2+2) (https://twitter.com/pjmdolI/status/1155599063242485762 ) пользователи решают по разному: одни делят 8 на 2 и умножают на (2+2), ответ: 16, другие делят 8 на произведение 2(2+2), ответ — 1. Первых — большинство. Правильный ответ — 1. Я хотела написать пост на эту тему. Пока помещаю отрывок из него, где объясняю правила порядка действий.

Почему умножение и деление «приоритетнее» сложения и вычитания

Пусть выражением 20+10 =30 записано решение задачи. Слагаемыми являются известные числа, известные по условиям задачи, типа такой: вчера выкопали 20 кг моркови, сегодня — 10. Какой урожай моркови?

Теперь представим, что слагаемые неизвестны, но по условию задачи известно, что 20 — это 10*2, а 10 — это 30:3. Так и записываем сумму: 10*2+30:3=? Нам надо получить сумму двух неизвестных чисел, чтобы подсчитать урожай.

Для того, чтобы теперь найти сумму, нужно в первую очередь вычислить слагаемые, которыми здесь являются произведение и частное. На этом основании они становятся первоочередными действиями, а сложение — последним, заключительным действием, т. к. вычисляется искомая сумма.

Всё очень просто. Повторю. Т.к. невозможно вычислить сумму неизвестных чисел, записанных в виде неизвестного произведения и частного без нахождения произведения и частного, то это и является той незыблемой основой первоочередного выполнения умножения и деления, когда произведение и частное являются слагаемыми. А действие сложения в таких выражениях всегда является заключительным.

Некогда математики договорились, что для того, чтобы подобные выражения и формулы не пестрели трёхэтажными и выше скобками, не писать, а лишь подразумевать скобки для умножения и деления, т. к. произведения и частные, которые являются слагаемыми, всегда находятся в первую очередь, что всем (некогда было) ясно и без скобок (как «Волга впадает в Каспийское море»). Ставь скобки или нет, всё равно сначала будешь делить и умножать, а потом складывать и вычитать. По этим же соображениям отказались брать в скобки возведение в степень, извлечение корня и ряд других действий, которые первоочерёднее умножения и деления, когда являются неизвестными множителями, делимыми и делителями, т. е. когда неизвестно значение корня или степени, без вычисления которых нельзя совершить умножение и деление.

Вот так надо понимать, почему умножение и деление «приоритетнее» сложения и вычитания. Первоочерёдность теперь обозначается нелепым словом «приоритетность», т. е. вы должны умножение и деление делать первыми потому, что они «приоритетнее» сложения! И самим не смешно, т. к. на деле выясняется, что умножения и деление — это вспомогательные действия, которые нужно сделать, чтобы найти сумму? Как раз сложение имеет настоящую важность. Если бы не нужно было находить сумму, то умножать/делить было бы не нужно. Будем считать, что поняли, почему умножение и деление «приоритетнее» сложения. Основу первоочерёдности умножения и деления нельзя изменить. Поэтому другие «приоритеты» будут ложными. Если вы знаете основу как смысл такой очерёдности, то плевать вы хотели и на правила и на тех, кто дурит вас при помощи своих «правилотворческих актов».

Слово «приоритетность» теперь все понимают как обозначение некой таинственной важности умножения и деления, из-за которой им присвоили более «высокий» «приоритет». Сложение и вычитание становятся как бы «ущербными» действиями, имея самый низкий «приоритет» в «табеле о рангах». Эмоциональная нагрузка заменяет смысловую. Чтобы избавиться от эмоций, надо просто заменить слово «приоритетность» на, скажем, «очерёдность» (первоочерёдность, равноочерёдность), чтобы мозг не буксовал. Или восстановить прежнюю терминологию (не помню, что использовалось вместо «приоритетности»).

Почему умножение и деление «равноприоритетны»

В примере решения задачи есть действия деления и умножения. На этот случай имеется правило, что умножение и деление — равноприоритетны, т. е. их можно выполнять в произвольной последовательности.

Действительно, абсолютно неважно, какое из слагаемых вычисляется первым, какое — вторым, т. к. очерёдность вычислений слагаемых не влияет на сумму. Неважность очерёдности действий умножения и деления при вычислении слагаемых в выражении — это основа безочерёдности этих действий, что значит, произведения и частные в выражении можно вычислять в любом порядке, как удобно, не соблюдая правило «слева направо».

Понятно, что в выражении, где есть несколько слагаемых в виде произведений, частных, а также других действий, взятых в скобки, так же неважно для правильного ответа, в каком порядке вычислять слагаемые. Не обязательно начинать вычислять сначала все слагаемые в скобках, потом все частные и произведения, порядок — произвольный, как удобно. А также необязательно находить сразу все слагаемые, несмотря на «пониженную приоритетность» сложения/вычитания. Пожалуйста, можете выполнять сложение по мере вычисления неизвестных слагаемых. Особенно это пригождается, когда решаешь конкретную задачу, в которых промежуточные суммы имеют определённое смысловое значение, т. е. являются ответами, на промежуточные вопросы задачи. Это позволяет быстрее найти ошибку в постановке вопроса, формулировке действия или в вычислении какого-либо параметра. Если же найти все слагаемые оптом, а потом сложить, то я даже не знаю, как потом найти ошибку. Тупое исполнение правил мешает осмысленно относится к задаче и превращает решение задачи в муторный процесс вычислений (благо, его облегчили калькуляторы) и не позволяет накопить опыт (который, «сын ошибок трудных», потому трудных, что требуют исправления, но тяжело в учении — легко в бою) их решения. Правила превращают мозг человека в калькулятор.

Почему «равноприоритетны» сложение и вычитание (на примере выражения без умножения и деления)

Т.к. вычитание есть сложение с отрицательными числами, и от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, то вычитание и сложение могут проводиться в любой очерёдности, т. к. это одно и то же действие. Такова основа безочерёдности выполнения действий сложения и вычитания, которую в псевдоматематическом новоязе назвали равной приоритетностью сложения и вычитания. Не может одно и то же действие быть «разноприоритетным», если уж на то пошло.

Например: 10+20-10 можно посчитать в таком порядке: 10+(20-10), в таком: -10+10+20, в таком: -10+20+10, в таком 10-10+20. Во всех случаях ответ будет одинаков — 20. Порядок вычисления не влияет на сумму, поэтому у действий сложения и вычитания — произвольная очерёдность, которую устанавливает тот, кто находит значение выражения.

Сложение и вычитание не имеет очерёдности согласно переместительному свойству сложения, поэтому правило «слева направо» выполнять необязательно.

Т. к. сложение — это увеличение количества, а вычитание — уменьшение, то ребёнок не может сразу понять, почему в реальности разные действия (сложение и вычитание) формально являются одним и тем же. Поэтому самое главное, что ребёнку надо пояснить, почему разное — одинаково, так, чтобы, наоборот, не запутать его. Если он сам не поймёт, не увидит одинаковость с точки зрения именно арифметики, как бы условности исключительно для удобства счёта реальных вещей, то он просто зазубрит, мол, «что это одно и тоже», чего нельзя допускать, ибо он отчается понять, что повлечёт за собой цепь непониманий. Поэтому пояснять надо в своё время. Думаю, что одинаковость будет ясна в полной мере после понимания, что такое отрицательные числа как уяснения их назначения (практического использования) — «ниже нуля и выше нуля». До этого вычитание для ребёнка будет самостоятельным арифметическим действием, как он видит на практике, противоположностью сложения по результату. Поэтому детям сначала надо соблюдать правило «слева направо» в выражениях, где есть сложение и вычитание, чтобы получить правильный ответ. Но не делать правило догмой, а лишь подспорьем при неуверенности. Положительные слагаемые они могут складывать произвольно, они могут сложить все слагаемые, из которых потом вычитать все вычитаемые, чтобы убедиться, что сумма не меняется, и на наглядных практических примерах с теми же счётными палочками, понять — почему. В примерах, подобных 10+20-10 они могут сначала выполнить вычитание, т. е. второе действие, или сначала от 10 — 10, и всё это можно воспроизвести на практике, с помощью тех же счётных палочек. Затем в выражения можно добавлять слагаемые/вычитаемые в виде неизвестных произведений и частных. После изучения отрицательных чисел и накопления опыта действий с ними они легко могут осознать тождественность вычитания и сложения как арифметического действия, убедившись в этом на практике.

назначение правила «слева направо»

Мы выяснили, что если в выражении два и более слагаемых, неважно, простых или сложных, то сложение (вычитание) данных и найденных слагаемых можно производить в любом порядке. Зачем же в таких выражениях бывает нужно применять очерёдность вычисления «слева направо»?

Иногда порядок нахождения суммы «слева направо» имеет смысл. Любое математическое, как арифметическое, так и алгебраическое, выражение определяется и составляется исходя из условий задачи. Поэтому составление и запись выражения отражает логику решения данной задачи, последовательность ответов на предварительные вопросы, получив которые, человек может получить ответ, ради которого он решал задачу и даже ставил её. Поэтому каждый член выражения, являющийся количественной характеристикой, имеет и смысловое значение, отвечая на вопрос: «количество чего?» (только в абстрактных примерах этот вопрос не ставится, число имеет только величину, или «значение», и не имеет качественной, или смысловой, характеристики). Т. к. арифметические действия записываются в порядке осознания задачи и решения предварительных вопросов, то тем самым фиксируется смысловая нагрузка членов выражения, следовательно, фиксируется смысл действия — на какой вопрос будет получен ответ. Следовательно, очередность действий в порядке записи выражения («слева направо») позволяет решающему задачу человеку сохранять логику решения, последовательно отвечая на предварительные вопросы. Только для этой цели требуется соблюдать очерёдность «слева направо». Но и в этом случае, уверенный в себе человек, хорошо понимающий смысл задачи, может не соблюдать этого правила, если ему удобно считать (ведь считать не означает — решать) в другой последовательности, как какой-либо абстрактный пример. Для этой же цели учащиеся осваивают способы «упрощения выражений» и свойства арифметических действий. Такой человек всегда может объяснить метод своего решения, как свои допущенные на время условности. Большинство людей уверенность путают с самоуверенностью, поэтому для страховки им лучше соблюдать очерёдность действий, чтобы не запутаться в задаче и не получить абсурд в виде «полтораземлекопа». В физике адекватность составленного выражения решению задачи проверяется размерностью.

Выше я уже показала, что произвольность в очерёдности (а также хоть «справа налево») не вредит вычислению ответа, когда находятся неизвестные произведения и частные.

В выражениях, где члены НЕ являются слагаемыми, например 8:2*4, нужно выполнять действия «слева направо». И теперь уже не только ради сохранения смысла членов выражения, а потому, что другой порядок действий даст неправильный ответ. Правило «слева направо» придаёт строгую очерёдность «безочерёдным» делению и умножению. Почему?

Хотя умножение и деление имеют своими корнями сложение/вычитание, но в отличие от вычитания и сложения, они не являются одним и тем же действием. Умножение — это сложение одинаковых чисел, а деление — это разложение суммы на равные количественные доли. Как говорят — обратное действие. В данном примере 8 делится пополам. Одна часть = 4. Эта часть обратно складывается, но не 2 раза, чтобы опять получилась 8, а 4 раза, что в сумме даёт 16. Взаимосвязь, как обратимость, деления и умножения видна в примерах, где делитель равен множителю: 8:2*2=8. Мы разделили 8 на 2 части, потом часть сложили 2 раза, и получили 8. В общем, насчёт обратимости понятно: на сколько частей разобрали, столько и собрали. Не в этом дело. Но во взаимосвязь умножения и деления дети тоже должны вникнуть, выявить её на опыте (упражнениях), а не просто знать о ней, т. к. без этого не смогут владеть этими инструментами математики в полной мере.

Из примера видно, что 8 является делимым, а 2 является делителем. Делитель, как теперь называется, это — «оператор действия», т.е. это то, что делит (на определённое его величиной количество частей). Поэтому 2 не может быть одновременно множителем (точнее — умножаемым) для 4. Не должно быть «или-или», т. е. двусмысленности назначения члена выражения. Множителем (умножаемым) для 4 (здесь 4 — оператор умножения) станет частное от деления 8 на 2, т. е. тоже 4. Следовательно, последовательность записи действий слева направо определяет так сказать статус каждого члена выражения: что есть делимое, делитель, множитель. А это не просто «статус», а так сказать, «положение обязывает». Делителю — делить, умножаемому — умножаться, множителю — умножать. Значит, в порядке записи обозначен порядок действий. Сама запись есть способ обозначения порядка действий. Способ, который устраняет неоднозначность, порождаемую безочерёдностью («равноприоритетностью») умножения и деления. Это есть основание правила «слева направо». Менять этот порядок, например выполнять сначала умножение 2*4, значит — фактически решать не данный, а другой пример, в котором бывший делитель (2) становится множителем для 4, а полученное произведение — делителем 8. В первом случае мы находим произведение, во-втором, частное. Т.е. изменение порядка действий изменяет пример. Другой пример — другой ответ. Если же нам нужен именно «другой пример», то нет проблем — произведение 2*4 берётся в скобки: 8:(2*4), или знак деления заменяется на горизонтальную черту. В данном случае скобки «аннулируют» очерёдность «слева направо», т. к. меняют «статус» двойки с делителя, данный ему порядком записи, на умножаемое. Чтобы оно благополучно умножилось. В алгебраических выражениях, типа a:bc, чтобы обозначить делителем b, нужно делимое и делитель взять в скобки(а:b)c, или заменить знак деления на горизонтальный. Хотя проще всего в таких случаях поставить знак умножения между b*c. Точнее, при записи алгебраического выражения его просто не надо опускать. Но принято его опускать, поэтому скобки — в помощь.

***

Я разъяснила объективные основания «приоритетности» всех арифметических действий. Надеюсь теперь всем понятно, почему не может быть ни различных, ни других правил «приоритетности». Порядок действий не зависит от человека. От человека зависит лишь его формулировка в виде правил. При желании каждый может формулировать правила «своими словами», формулируя своё понимание очерёдности.

Повторю, что это отрывок, где я показываю смысл правил BODMAS/PEMDAS, т.к. без смысла они становятся догмой. Но весь сыр-бор разгорелся по причине того, что никто, включая решивших правильно, не понимает смысла опущенного перед скобками знака умножения. Опущенный знак умножения имеет назначение скобок, поэтому в «спорном примере» делителем 8 является произведение 2(2+2). Или, выражаясь на математическом новоязе, опущенный знак умножения делает действие умножения «приоритетнее» деления, т.к. согласно правилам, действия в скобках первичны. В данном случае опущенный знак умножения меняет порядок вычисления «слева направо» на «справа налево», определяя делителем произведение. Постараюсь дописать текст, т.к. мне надо было понять, как вообще и почему мог произойти такой «спор». Для меня это как гром с ясного неба.


Телеграмм-канал для своих, не скопипащенных, постов: t.me/warrax_news

Порядок решения сложных примеров. Порядок выполнения действий — Гипермаркет знаний

И вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :

  • действия выполняются по порядку слева направо,
  • причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Пример.

Выполните действия 7−3+6 .

Решение.

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Ответ:

7−3+6=10 .

Пример.

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

Ответ:

Сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Пример.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Решение.

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 — значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Ответ:

17−5·6:3−2+4:2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Определение.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий . В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Пример.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Решение.

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Ответ:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Пример.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Решение.

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Ответ:

4+(3+1+4·(2+3))=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Давайте проверим

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя .

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

Потренируемся.

Рассмотрим выражение

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени .

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления — это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассмотрим выражение.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Рассмотрим выражение.

30 + 6 * (13 — 9)

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

30 + 6 * (13 — 9)

Вычислим значение выражения.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Потренируемся.

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

43 — (20 — 7) +15

32 + 9 * (19 — 16)

Будем действовать по правилу. В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 — 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие — умножение, второе — деление, третье — вычитание.

2*9-18:3=18-6=12

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

18: (11 — 5) + 47=

7 * 3 — (16 + 4)=

Рассуждаем так.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие — деление, второе — умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое — вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продолжаем рассуждать.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — деление, третье — сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — умножение, третье — вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Выполним задание.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого — вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.
  1. Festival.1september.ru ().
  2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
  3. Openclass.ru ().

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Октябрь 24th, 2017 admin

Лопатко Ирина Георгиевна

Цель: формирование знаний о порядке выполнения арифметических действий в числовых выражениях без скобок и со скобками, состоящих из 2-3 действий.

Задачи:

Образовательная: формировать у учащихся умение пользоваться правилами порядка выполнения действий при вычислении конкретных выражений, умение применять алгоритм действий.

Развивающая: развивать навыки работы в паре, мыслительную деятельность учащихся, умение рассуждать, сопоставлять и сравнивать, навыки вычисления и математическую речь.

Воспитательная: воспитывать интерес к предмету, толерантное отношение друг к другу, взаимное сотрудничество.

Типа: изучение нового материала

Оборудование: презентация, наглядности, раздаточный материал, карточки, учебник.

Методы: словесный, наглядно- образный.

ХОД УРОКА

  1. Организационный момент

Приветствие.

Мы сюда пришли учиться,

Не лениться, а трудиться.

Работаем старательно,

Слушаем внимательно.

Маркушевич сказал великие слова: “Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели .” Добро пожаловать на урок математики!

  1. Актуализация знаний

Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным. (Б. Паскаль)

Предлагаю выполнить логические задания. Вы готовы?

Какие два числа, если их перемножить, дают такой же результат, что и при их сложении? (2 и 2)

Из-под забора видно 6 пар лошадиных ног. Сколько этих животных во дворе? (3)

Петух, стоя на одной ноге весит 5кг. Сколько он будет весить, стоя на двух ногах? (5кг)

На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 6 руках? (30)

У родителей 6 сыновей. Каждый имеет сестру. Сколько всего детей в семье? (7)

Сколько хвостов у семи котов?

Сколько носов у двух псов?

Сколько ушей у 5 малышей?

Ребята, именно такой работы я и ждала от вас: вы были активны, внимательны, сообразительны.

Оценивание: словесное.

Устный счет

КОРОБКА ЗНАНИЙ

Произведение чисел 2 * 3, 4 * 2;

Частные чисел 15: 3, 10:2;

Сумма чисел 100 + 20, 130 + 6, 650 + 4;

Разность чисел 180 – 10, 90 – 5, 340 – 30.

Компоненты умножения, деления, сложения, вычитания.

Оценивание: ученики самостоятельно оценивают друг друга

  1. Сообщение темы и цели урока

“Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.” (А.Франц)

Вы готовы поглощать знания с аппетитом?

Ребята, Маше и Мише была предложена такая цепочка

24 + 40: 8 – 4=

Маша её решила так:

24 + 40: 8 – 4= 25 правильно? Ответы детей.

А Миша решил вот так:

24 + 40: 8 – 4= 4 правильно? Ответы детей.

Что вас удивило? Вроде и Маша и Миша решили правильно. Тогда почему ответы у них разные?

Они считали в разном порядке, не договорились, в каком порядке будут считать.

От чего зависит результат вычисления? От порядка.

Что вы видите в этих выражениях? Числа, знаки.

Как в математике называют знаки? Действия.

О каком порядке не договорились ребята? О порядке действий.

Что мы будем изучать на уроке? Какая тема урока?

Мы будем изучать порядок арифметических действий в выражениях.

Для чего нам нужно знать порядок действий? Правильно выполнять вычисления в длинных выражениях

«Корзина знаний» . (Корзина висит на доске)

Ученики называют ассоциации связанные с темой.

  1. Изучение нового материала

Ребята, послушайте, пожалуйста, что говорил французский математик Д.Пойя: “Лучший способ изучить что-либо — это открыть самому”. Вы готовы к открытиям?

180 – (9 + 2) =

Прочитайте выражения. Сравните их.

Чем похожи? 2 действия, числа одинаковые

Чем отличаются? Скобки, разные действия

Правило 1.

Прочитайте правило на слайде. Дети читают вслух правило.

В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание или умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

О каких действиях здесь говорится? +, — или : , ·

Из данных выражений найдите только те, которые соответствуют правилу 1. Запишите их в тетрадь.

Вычислите значения выражений.

Проверка.

180 – 9 + 2 = 173

Правило 2.

Прочитайте правило на слайде.

Дети читают вслух правило.

В выражениях без скобок сначала выполняются по порядку слева направо умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

:, · и +, — (вместе)

Есть скобки? Нет.

Какие действия будем выполнять сначала? ·, : слева направо

Какие действия будем выполнять потом? +, — слева, направо

Найдите их значения.

Проверка.

180 – 9 * 2 = 162

Правило 3

В выражениях со скоб­ками, сна­ча­ла вы­чис­ля­ют зна­че­ние вы­ра­же­ний в скоб­ках, затем выполняются по порядку слева направо умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

А здесь какие арифметические действия указаны?

:, · и +, — (вместе)

Есть скобки? Да.

Какие действия будем выполнять сначала? В скобках

Какие действия будем выполнять потом? ·, : слева направо

А затем? +, — слева, направо

Выпишите выражения, которые относятся ко второму правилу.

Найдите их значения.

Проверка.

180: (9 * 2) = 10

180 – (9 + 2) = 169

Еще раз все вместе проговариваем правило.

ФИЗМИНУТКА

  1. Закрепление

“Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.” , говорил М.В. Остроградский. Вот и мы сейчас вспомним, что мы только что изучили и применим новые знания на практике.

Страница 52 №2

(52 – 48) * 4 =

Страница 52 №6 (1)

Учащиеся собрали в теплице 700 кг овощей: 340 кг огурцов, 150 кг помидоров, а остальные – перец. Сколько килограммов перца собрали учащиеся?

О чем говорится? Что известно? Что нужно найти?

Давайте попробуем решить эту задачу выражением!

700 – (340 + 150) = 210 (кг)

Ответ: 210 кг перца собрали учащиеся.

Работа в парах.

Даны карточки с заданием.

5 + 5 + 5 5 = 35

(5+5) : 5 5 = 10

Оценивание:

  • быстрота – 1 б
  • правильность — 2 б
  • логичность – 2 б
  1. Домашнее задание

Страница 52 № 6 (2) решить задачу, записать решение в виде выражения.

  1. Итог, рефлексия

Кубик Блума

Назови тему нашего урока?

Объясни порядок выполнения действий в выражениях со скобками.

Почему важно изучать эту тему?

Продолжи первое правило.

Придумай алгоритм выполнения действий в выражениях со скобками.

“Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.” (М.И. Калинин)

Спасибо за работу на уроке!!!

ПОДЕЛИТЬСЯ Вы можете

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Давайте проверим

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя .

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

Потренируемся.

Рассмотрим выражение

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени .

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления — это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассмотрим выражение.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Рассмотрим выражение.

30 + 6 * (13 — 9)

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

30 + 6 * (13 — 9)

Вычислим значение выражения.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Потренируемся.

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

43 — (20 — 7) +15

32 + 9 * (19 — 16)

Будем действовать по правилу. В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 — 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие — умножение, второе — деление, третье — вычитание.

2*9-18:3=18-6=12

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

18: (11 — 5) + 47=

7 * 3 — (16 + 4)=

Рассуждаем так.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие — деление, второе — умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое — вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продолжаем рассуждать.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — деление, третье — сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — умножение, третье — вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Выполним задание.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого — вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.
  1. Festival.1september.ru ().
  2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
  3. Openclass.ru ().

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются во 2 классе, но практически некоторые из них дети используют еще в 1 классе.

Сначала рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Необходимость введения выражений, содержащих два и более арифметических действий одной ступени, возникает при знакомстве учеников с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 10, а именно:

Аналогично: 6 — 1 — 1, 6 — 2 — 1, 6 — 2 — 2.

Так как для нахождения значений этих выражений школьники обращаются к предметным действиям, которые выполняются в определенном порядке, то они легко усваивают тот факт, что арифметические действия (сложение и вычитание), которые имеют место в выражениях, выполняются последовательно слева направо.

С числовыми выражениями, содержащими действия сложения и вычитания, а также скобки, учащиеся впервые встречаются в теме «Сложение и вычитание в пределах 10». Когда дети встречаются с такими выражениями в 1 классе, например: 7 — 2 + 4, 9 — 3 — 1 , 4 +3 — 2; во 2 классе, например: 70 — 36 +10, 80 — 10 — 15, 32+18 — 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, учитель показывает, как читают и записывают такие выражения и как находят их значение (например, 4*10:5 читают: 4 умножить на 10 и полученный результат разделить на 5). К моменту изучения во 2 классе темы «Порядок действий» учащиеся умеют находить значения выражений этого вида. Цель работы на данном этапе — опираясь практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли; действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод: если в выражении без скобок указаны только действия сложения и вычитания (или только действия умножения и деления), то их выполняют в том порядке, в каком они записаны (т.е. слева направо).

Несмотря на то, что в выражениях вида а+в+с, а+(в+с) и (а+в)+с наличие скобок не влияет на порядок выполнения действий в силу сочетательного закона сложения, на этом этапе учащихся целесообразнее сориентировать на то, что сначала выполняется действие в скобках. Это связано с тем, что для выражений вида а — (в+с) и а — (в — с) такое обобщение неприемлемо и учащимся на начальном этапе довольно трудно будет сориентироваться в назначении скобок для различных числовых выражений. Использование скобок в числовых выражениях, содержащих действия сложения и вычитания, в дальнейшем получает свое развитие, которое связано с изучением таких правил, как прибавление суммы к числу, числа к сумме, вычитание суммы из числа и числа из суммы. Но при первом знакомстве со скобками важно нацелить учащихся на то, что сначала выполняется действие в скобках.

Учитель обращает внимание детей на то, как важно соблюдать это правило при вычислениях, иначе можно получить неверное равенство. Например, учащиеся объясняют, каким образом, получены значения выражений: 70 — 36 +10=24, 60:10 — 3 =2, почему они неверны, какие значения в действительности имеют эти выражения. Аналогично изучают порядок действий в выражениях со скобками вида: 65 — (26 — 14), 50:(30 — 20), 90:(2 * 5). С такими выражениями учащиеся также знакомы и умеют их читать, записывать и вычислять их значение. Объяснив порядок выполнения действий в нескольких таких выражениях, дети формулируют вывод: в выражениях со скобками первым выполняется действие над числами, записанными в скобках. Рассматривая эти выражения нетрудно показать, что действия в них выполняются не в том порядке, в каком записаны; чтобы показать другой порядок их выполнения, и использованы скобки.

Следующим вводится правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени. Поскольку правила порядка действий приняты по договоренности, учитель сообщает их детям или же учащиеся знакомятся с ними по учебнику. Чтобы учащиеся усвоили введенные правила, наряду с тренировочными упражнениями включают решение примеров с пояснением порядка выполнения их действий. Эффективны также упражнения в объяснении ошибок на порядок выполнения действий. Например, из заданных пар примеров предлагается выписать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка действий:

После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки, изменить порядок действий так, чтобы выражение имело заданное значение. Например, чтобы первое из приведенных выражений имело значение, равное 10, надо записать его так: (20+30):5=10.

Особенно полезны упражнения на вычисление значения выражения, когда ученику приходится применять все изученные правила. Например, на доске или в тетрадях записывается выражение 36:6+3*2. Учащиеся вычисляют его значение. Затем по заданию учителя дети изменяют с помощью скобок порядок действий в выражении:

  • 36:6+3-2
  • 36:(6+3-2)
  • 36:(6+3)-2
  • (36:6+3)-2

Интересным, но более трудным является обратное упражнение: расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

  • 72-24:6+2=66
  • 72-24:6+2=6
  • 72-24:6+2=10
  • 72-24:6+2=69

Также интересными являются упражнения следующего вида:

  • 1. Расставьте скобки так, чтобы равенства были верными:
  • 25-17:4=2 3*6-4=6
  • 24:8-2=4
  • 2. Поставьте вместо звездочек знаки «+» или «-» так, чтобы получились верные равенства:
  • 38*3*7=34
  • 38*3*7=28
  • 38*3*7=42
  • 38*3*7=48
  • 3. Поставьте вместо звездочек знаки арифметических действий так, чтобы равенства были верными:
  • 12*6*2=4
  • 12*6*2=70
  • 12*6*2=24
  • 12*6*2=9
  • 12*6*2=0

Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются в том, что значение выражения может измениться, если изменяется порядок действий.

Для усвоения правил порядка действий необходимо в 3 и 4 классах включать все более усложняющиеся выражения, при вычислении значений которых ученик применял бы каждый раз не одно, а два или три правила порядка выполнения действий, например:

  • 90*8- (240+170)+190,
  • 469148-148*9+(30 100 — 26909).

При этом числа следует подбирать так, чтобы они допускали выполнение действий в любом порядке, что создает условия для сознательного применения изученных правил.

Примеры со скобками: какой порядок действий

Помню, в школе на зимние каникулы учительница всегда давала нам большой листок с примерами, которые нужно было решить. Чтобы мы за пару недель не забыли всё, что выучили. Почти все одноклассники вспоминали об этих примерах в воскресенье вечером перед школой. Страдальчески садились за стол и пытались включить мозг. Получалось не всегда. Спустя годы после школы тем более сложно что-то вспомнить. Поэтому у многих даже простые задания вызывают недоумение. Что ж, проверим, хорошо ли тебя натаскала математичка. А также расскажем, что стоит помнить, решая математические примеры со скобками.

© Depositphotos

Математические примеры со скобками

8 / 4(3 – 1) = ?

Посчитай и скажи, сколько у тебя вышло. Проверить себя можешь в конце статьи. А если возникают затруднения, мы всегда поможем!

© Depositphotos

Алгоритмы решения примеров

Начнем с простых примеров без скобок. Чтобы решить такие примеры, нужно помнить одно главное правило: все действия выполняются слева направо. Сначала сделай умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

© Depositphotos

Посчитаем: 5 х 4 – 8 / 2 = ?

Иди слева направо, но помни, что сначала выполняются умножение и деление. Так:

1) 5 х 4 = 20. Это умножение, и оно будет первым, если идти слева направо.

2) 8 / 2 = 4. Это деление, и, хотя оно идет после вычитания, деление выполняется первым.

3) 20 – 4 = 16. Теперь обычный порядок: после умножения и деления переходим к вычитанию.

Ответ: 5 х 4 – 8 / 2 = 16.

© Depositphotos

Как решать примеры со скобками

Пример может содержать круглые скобки, которые используются для изменения обычного порядка математических действий. Чтобы сделать всё правильно, запомни такие правила.

Сначала проделай все действия, указанные в скобках. Затем — всё остальное слева направо. Первыми всегда, как мы уже говорили, идут умножение и деление, а затем вычитание и сложение. Те же правила применяются к круглым скобкам.

© Depositphotos

Ответ на наш пример

Решая этот пример, легко перепутать порядок действий. Правильный порядок таков: сначала вычисли результат в скобках, затем подели 8 на 4, а результат умножь на то, что получил в скобках. Итак, ты получишь: 8 / 4(3 – 1) = 8 / 4 х 2 = 2 х 2 = 4.

© Depositphotos

А ты получил правильный ответ? Делись с нами в комментариях.

Екатерина Кукиб

Редактор, который не пишет статьи, а просто общается с читателем как с хорошим другом. Главные ориентиры в жизни — свобода и безбарьерность. Катя любит людей и их истории, которые собирает для своей собственной, чтобы потом рассказать ее миру. Любимая книга — «Искусство любить» Эриха Фромма.

Что такое правило PEMDAS? Определение, примеры

PEMDAS — это аббревиатура, используемая для обозначения порядка операций, которым необходимо следовать при решении выражений, состоящих из нескольких операций. PEMDAS означает P-круглые скобки, E-экспоненты, M-умножение, D-деление, A-сложение и S-вычитание. В разных странах для обозначения порядка операций используются разные аббревиатуры. Например, в Канаде порядок операций указан как BEDMAS (скобки, возведение в степень, деление, умножение, сложение и вычитание).Некоторые люди предпочитают говорить BODMAS (B-скобки, O-порядок или Off), в то время как некоторые другие называют это GEMDAS (G-группировка).

На этом уроке вы узнаете о правиле PEMDAS для решения арифметических выражений, за которыми следуют решенные примеры и практические вопросы.

Введение в PEMDAS

PEMDAS или порядок операций — это набор правил для выполнения операций в арифметическом выражении. Существуют разные сценарии, в которых все проходит через различные этапы в фиксированной последовательности.Рассмотрим следующий сценарий. Рон и Рейвен посетили фабрику игрушек. Они оба наблюдали за процессами, которым следовали на фабрике по производству игрушек. Сначала создаются игрушки. Далее они строятся и упаковываются в коробки. Наконец, они проверяются на качество перед отправкой в ​​магазины. Все делается в установленном порядке.

Точно так же арифметические операции выполняются упорядоченным образом. Давайте узнаем порядок операций в математике. Найти ответ на математические операции довольно просто, когда задействован только один оператор.Что делать, если задействовано несколько операторов? Это может стать немного сложнее! Посмотрим, как.

Рон и Рейвен по отдельности решили математическое выражение 5+2×3. Вот как они решили это.

Метод Рона Метод Ворона

5+2×3

= 7×3

= 21

5+2×3

= 5+6

= 11

Как видите, Рон и Рейвен дали разные ответы.На это выражение в математике может быть только один правильный ответ! Сможете решить, кто прав?

Не волнуйтесь! PEMDAS поможет вам найти правильный ответ.

Что такое ПЕМДАС?

PEMDAS — это порядок операций, используемый в математике для облегчения выполнения сложных вычислений. В нем говорится, что мы начинаем решать любое арифметическое выражение с решения членов, написанных в скобках или скобках, а затем упрощаем экспоненциальные члены и переходим к операциям умножения и деления, а затем, наконец, мы можем найти ответ, решая операции сложения и вычитания.

Правила PEMDAS

PEMDAS — это набор правил, которым следуют при решении математических выражений. Эти правила начинаются с скобок , а затем операции выполняются над показателями степени или степенями. Далее выполняем операции над умножением или делением слева направо. Наконец, операции сложения или вычитания выполняются слева направо.

П [{()}] Скобки
Е х 2 Экспоненты

М

Д

×

ИЛИ

÷

Умножение

ИЛИ

Отдел

А

С

+

ИЛИ

Дополнение

ИЛИ

Вычитание

Если вы будете придерживаться этого порядка операций в правиле PEMDAS, вы всегда получите правильный ответ. Следующая аббревиатура поможет вам запомнить правило PEMDAS.

P аренда E извините M y D ухо A unt S союзник

Давайте разберемся с PEMDAS на примере.

BODMAS против PEMDAS

Правило PEMDAS аналогично правилу BODMAS . В аббревиатуре есть разница, потому что некоторые термины известны под разными именами в разных местах.

Когда использовать PEMDAS?

Когда в математическом выражении имеется более одной операции, мы используем метод PEMDAS. PEMDAS в математике дает вам правильную структуру для получения уникального ответа для каждого математического выражения. Существует ряд определенных правил, которые необходимо соблюдать при использовании метода PEMDAS. Как только вы освоите эти правила, вы сможете выполнять несколько шагов одновременно.

Что нужно помнить

  • Операции в скобках выполняются в первую очередь.
  • Затем решите показатели степени в выражении.
  • Двигайтесь слева направо и выполняйте умножение или деление, в зависимости от того, что наступит раньше.
  • Двигайтесь слева направо и выполняйте сложение или вычитание, в зависимости от того, что наступит раньше.

Распространенные ошибки при использовании правила PEMDAS в математике

Наличие нескольких скобок обычно вызывает путаницу. Если мы не знаем, какую скобку решить первой, это может привести к неправильному ответу.Теперь мы узнаем, как решить это выражение с несколькими скобками.

4+3[8-2(6-3)]÷2

Мы начнем с внутренней стороны кронштейнов. Сначала мы решим самую внутреннюю скобку, а затем переместимся наружу.

  • Начиная с 6 – 3 = 3, получаем: 4 + 3[8 – 2(3)] ÷ 2
  • Далее, умножая 2(3)=6 или 2×3=6, получаем: 4 + 3[8 – 6] ÷ 2
  • Осталась одна скобка, [8 – 6] = 2, получаем: 4 + 3[2] ÷ 2
  • Решив 3[2] или 3 × 2 = 6, мы получим: 4 + 6 ÷ 2

Мы видим, что все выражения в скобках решены. Опираясь на PEMDAS, мы знаем, что затем следует деление, следовательно, 6 ÷ 2 = 3, то есть 4 + 3. И, наконец, сложение 4 + 3 = 7.

☛Статьи по теме

Ознакомьтесь с еще несколькими интересными статьями, связанными с PEDAS и правилами. Узнайте разницу между BODMAS и PEMDAS с помощью следующих статей.

Часто задаваемые вопросы о PEMDAS

Что означает PEMDAS?

PEMDAS означает порядок операций для математических выражений, включающий более одной операции.Это означает P-круглые скобки, E-экспоненты, M-умножение, D-деление, A-сложение и S-вычитание.

Как работает правило Пемдаса?

В любом арифметическом выражении, если используется несколько операций, мы должны сначала решить члены, записанные в скобках. После избавления от круглых скобок решаем операции умножения и деления, что стоит первым в выражении слева направо. Тогда мы получим упрощенное выражение только с операциями сложения и вычитания. Мы решаем сложение и вычитание в порядке слева направо, что наступит раньше, и получаем окончательный ответ. Вот как работает PEMDAS.

Как сделать Pemdas с дробями?

В выражении с дробями использование правила PEMDAS не изменилось. Это должно быть сделано так же, как и любое целочисленное выражение.

Что означает буква P в слове Пемдас?

В PEMDAS буква P означает скобки или квадратные скобки. Порядок решения скобок задается как [{()}].Это означает, что мы всегда сначала решаем самую внутреннюю скобку, а затем переходим к фигурным скобкам и квадратным скобкам.

Для чего нужен калькулятор PEMDAS?

Все мы очень хорошо разбираемся в наборе арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление. PEMDAS — это набор правил, которым следуют при решении математических выражений. Чтобы легко и быстро упростить любое арифметическое выражение, мы используем калькулятор PEMDAS. Попробуйте калькулятор Cuemath PEMDAS — бесплатный онлайн-инструмент, который поможет вам решать математические выражения и получать ответы одним щелчком мыши.

Вы сначала умножаете или делите в PEMDAS?

В правиле PEMDAS мы решаем операции умножения и деления слева направо. Мы можем выполнять любую операцию, умножение или деление, что бы ни стояло первым в выражении.

Когда мы применяем правило PEMDAS?

Правило PEMDAS применяется для решения сложных математических выражений, включающих несколько операций, таких как сложение, вычитание, умножение или деление.

☛Также проверьте:

Попробуйте эти БЕСПЛАТНЫЕ рабочие листы прямо сейчас, чтобы попрактиковаться в правилах PEMDAS.

Какое правило для PEMDAS?

Правило PEMDAS дает нам правильную последовательность для решения математического выражения. В правиле PEMDAS операции сначала выполняются в круглых скобках. Далее выполняются операции над показателями или степенями. Далее следуют операции умножения или деления слева направо, в зависимости от того, что наступит раньше. Наконец, операции сложения или вычитания выполняются слева направо, в зависимости от того, что наступит раньше.

Что такое умножение?

Что такое умножение?
январь 2011 г. После трех моих статей о природе умножения в 2008 г. (Июнь, Июль Август, Сентябрь), Я пообещал себе оставить эту тему в покое на несколько лет.Фактически, Я вообще никогда не собирался писать эту серию. Первый был ответом на неожиданно широкую реакцию, которую я получил на то, что я считал довольно безобидным, одноразовым комментарием, который я сделал в конце предыдущей колонки. В той первоначальной публикации я отметил, что не стоит говорить студентам, что «умножение — это многократное сложение». Оказалось, что многие учителя думали, что это именно так, поэтому я был вынужден опубликовать то, что в итоге превратилось в три колонки, каждая из которых длиннее и глубже, чем предыдущая, объясняя, почему мем «умножение — это повторное сложение» ( MIRA) не только неправильна, но и опасна для распространения с точки зрения образования. Опасность была продемонстрирована в драматической форме большим объемом полученной мной корреспонденции и множеством последовавших за этим публичных тем в блогах, которые показали, что очень многие граждане горячо верят в MIRA.

Почему я говорю об опасности? «В конце концов, — говорили некоторые корреспонденты, — даже если MIRA ошибается, не все ли равно, верят ли люди в нее? Пока они умеют правильно пользоваться калькулятором и получать правильный ответ, ложная вера не причиняет вреда». Мой ответ на это двоякий.Во-первых, как у педагога у меня этическая позиция. Те из нас, кто преподает математику на любом уровне, просто не должны заниматься распространением лжи. Конечно, иногда мы говорим «не всю правду», чтобы предоставить нашим студентам управляемый путь к овладению тем, что может быть трудным понятием. Но когда мы делаем это, у нас есть обязательство (1) не говорить вопиющей лжи и (2) оставлять открытой дверь для последующего уточнения, расширения или других модификаций, когда ученик будет продвигаться дальше. Проблема с историей MIRA заключается в том, что, как показывают исследования, многие студенты остаются с твердым, но ложным убеждением, что умножение на самом деле является повторяющимся сложением. Зная это, мы должны перестать рассказывать эту конкретную историю.

Вторая часть моего ответа заключается в том, что в современном мире мы сталкиваемся с огромным количеством решений, которые зависят от понимания количества. Некоторые из них по своей природе аддитивны, некоторые мультипликативны, а некоторые экспоненциальны. Поведение этих трех разных видов арифметических операций резко различается, и, скажем, аддитивное мышление, когда задача является мультипликативной (или, что еще хуже, экспоненциальной), может привести к некоторым неверным решениям, которые во многих случаях действительно опасны.Приведу всего два примера: плохое численное представление о риске может привести к ненужным расходам на безопасность авиакомпаний, как я указал в колонке за последний месяц, а отсутствие понимания экспоненциального роста может ослепить умных людей от катастрофических опасностей глобального потепления. . (Здесь я подчеркиваю математическую мысль; здесь задействовано много других факторов.) Это факт жизни, что многие люди проживут жизнь, не умея заниматься математикой. Когда им понадобятся услуги математически способного человека, они наверняка найдут кого-нибудь.Но в мире, построенном на числах и арифметике в той же мере, что и на словах и языке, для наших учащихся достичь совершеннолетия без понимания четырех основных арифметических операций , ради бога, мне кажется, которые те из нас, кто занимается математическим образованием, не должны принимать.

Хотя первоначальный фурор, вызванный моими первоначальными сообщениями, кажется, улегся, я все еще получаю электронные письма от учителей и родителей типа «Хорошо, я понимаю, что вы говорите, но не могли бы вы тогда сказать мне, что такое умножение?» и от учителей, которые просят меня подсказать, как им учить маленьких детей умножению.Эта колонка является ответом на эти запросы.

В общем и целом, мои ответы тем учителям, которые писали мне, исходили из той точки зрения, которую я избрал, когда писал первые три колонки. Я профессиональный математик, но не обученный учитель K-12. Мой опыт (и мои полномочия) связаны с математикой, а не с преподаванием. Как профессиональный математик, я могу (и считаю, что должен) давать советы по математике, которую преподают в школах, и конструктивно критиковать то, как ее преподают, но я не думаю, что мне уместно предлагать, как преподавать.Другие гораздо более опытны в этом, чем я. (Думаю, не случайно большинство профессоров математического образования — бывшие учителя. Трудно научить других делать то, чего не сделал сам.)

Обычно я отсылал своих корреспондентов к двум книгам, которые сам находил очень полезными для ознакомления с вопросами математического образования. Один Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics, автором которой является Комитет по изучению математики при Национальном исследовательском совете и опубликовано издательством National Academies Press в 2001 году.Другой — превосходная книга Терезины Нуньес и Питера Брайанта 1996 года. Дети занимаются математикой. Есть и другие книги, и множество опубликованных научных статей по этому вопросу. Например, в 1994 году Гершон Харел и Джере Конфри отредактировали гигантский том (414 страниц) под названием «Развитие мультипликативного мышления в изучении математики», который содержит множество результатов исследований, идей и полезных советов. (Все три книги доступны на Гугл книги.)

Проблема с моим ответом в том, что у учителей редко есть время, чтобы продираться через том в несколько сотен страниц, написанный в первую очередь для профессоров. Я знал это, но это были лучшие источники, с которыми я был знаком.

Что я могу (и сделаю) здесь, так это попытаюсь объяснить свое собственное понимание умножения. В некоторых случаях я подозреваю, что именно об этом просили мои корреспонденты. Но в своих ответах я лишь сделал несколько расплывчатых замечаний о том, что «это гораздо больше основано на реальной концепции масштабирования, чем на сложении. «Я не хотел идти дальше, потому что никто из нас на самом деле не знает, как мы сами изучаем или понимаем математику, не говоря уже о том, как это делают другие или могут найти в этом выгоду. Как профессиональный математик с многолетним стажем, мое понимание умножения может быть отличным от других, и, кроме того, его аспекты может быть трудно или невозможно передать ребенку, изучающему математику в первый раз.Я никогда не преподавал на уровнях K-12, я бы не знал.Дело в том, что умножение и мультипликативные рассуждения сложны и многогранны.(Вот почему книга Харела-Конфри, которую я цитировал выше, занимает 414 страниц.)

Интересно, что сложности умножения почти никогда не возникают в повседневной деятельности профессионального математика. В самом деле, математик, который не задумывался о том, как этот предмет может — или должен — преподаваться на школьном уровне, может не знать об этих сложностях, хотя и сможет оценить их сразу же, как только на них укажут. (Это определенно была моя ситуация на протяжении большей части моей карьеры. ) Для математика умножение — это абстрактная бинарная функция чисел (и других абстрактных объектов), поведение которой определяется аксиомами. Мы никогда не задаемся вопросом «Что это?» мы также не пытаемся определить его в терминах «более основных» функций. (Отмечу попутно, что на уровне формальной, аксиоматической математики умножение просто не может быть определено как многократное сложение, поскольку последнее не является четко определенной функцией, а представляет собой метасхему вне аксиоматических рамок.) Мы просто используем функцию так, как указано в аксиомах.

Моя концепция умножения

Концепция умножения, которую я использую, когда работаю в математике, является скорее операциональной, чем онтологической, и построена на аксиоматически определенной абстрактной бинарной функции, которая составляет одну из двух фундаментальных операций в поле (или, в более общем смысле, в кольце). Я знаю свойства умножения, как обязательные (такие как ассоциативность), так и условные (такие как коммутативность), как оно соотносится с другими функциями (напр. грамм. дистрибутивность) и имеет ли конкретный экземпляр инверсию. Мне удобно с этим справляться. Я не спрашиваю, что это такое; все, что имеет значение, это его свойства.

Я понимаю, что моя профессиональная концепция умножения абстрагирована от повседневного понятия умножения, которое я выучил в детстве и использую в своей повседневной жизни. Но мое абстрактное представление об умножении упускает из виду многие сложности, которые являются частью моей гораздо более сложной ментальной концепции умножения как познавательного процесса.В этом вся суть абстракции. Хотя многие нематематики отступают от математического уровня абстракции, на самом деле это очень упрощает дело. Математика — это максимальное упрощение.

Например, математическая концепция умножения целых или действительных чисел коммутативна: M x N = N x M. (Это одна из аксиом.) Порядок чисел не имеет значения. Здесь нет никаких единиц измерения: M и N — это чистые числа. Но неабстрактная, реальная операция умножения совершенно определенно не является коммутативной, и единицы измерения представляют собой серьезную проблему. Три мешка с четырьмя яблоками — это не то же самое, что четыре мешка с тремя яблоками. И взять эластичную ленту длиной 7,5 дюймов и растянуть ее в 3,8 раза — это не то же самое, что взять резинку длиной 3,8 дюйма и растянуть ее в 7,5 раза.

На самом деле природа единиц является основным различием между сложением и умножением, а также одной из нескольких причин, почему не стоит предполагать, что умножение является повторным сложением, даже в том случае, когда повторное сложение имеет смысл, а именно, когда вы имеете дело с мощностями коллекций.Кроме того, две добавляемые коллекции должны иметь одинаковые единицы . Вы можете добавить 3 яблока к 5 яблокам, чтобы получить 8 яблок, но вы не можете добавить 3 яблока к 5 апельсинам. Чтобы сложить, вам нужно изменить единицы измерения, чтобы сделать их одинаковыми, скажем, классифицируя их как фрукты, чтобы 3 фрукта плюс 5 фруктов равнялись 8 фруктам. Но для умножения две коллекции имеют совершенно разную природу, и обязательно имеют разные единицы . С умножением у вас есть множимое (записывается вторым) умножается на множитель (записывается первым).Единицей для множителя должны быть наборы единиц для множимого. Например, если у вас есть 3 мешка, в каждом из которых по 5 яблок, то вы можете умножить их, чтобы получить

[3 ПАКЕТА] x [5 ЯБЛОК В ПАКЕТЕ] = 15 ЯБЛОКОВ
Обратите внимание, как единицы измерения сокращаются: МЕШКИ X ЯБЛОКИ/МЕШОК = ЯБЛОКИ

. В этом примере есть возможность выполнения повторного сложения: вы заглядываете в каждый мешочек по очереди и складываете. В качестве альтернативы вы опорожняете 3 мешка и подсчитываете количество яблок.В любом случае вы определите, что яблок 15. Конечно, вы получите тот же ответ, если умножите. Дело в том, что целочисленное умножение дает тот же ответ, что и многократное сложение. Но один и тот же ответ не делает операции одинаковыми.

Заблуждение MIRA становится очень очевидным, когда вы рассматриваете мой второй пример, где я беру эластичную ленту длиной 7,5 дюймов и растягиваю ее в 3,8 раза. Окончательная длина ленты 28.5 дюймов. Но что такое единицы? Что идет после числа 3,8 в расчете

[3,8 — — -] x [7,5 ДЮЙМА] = 28,5 ДЮЙМА ?
Ответ — ничего. У него нет единиц. В этом случае 3,8 — это безразмерный масштабный коэффициент 90 277 90 280 .

Между прочим, даже когда начальная длина полосы и коэффициент масштабирования являются положительными целыми числами, нет смысла рассматривать этот пример как пример многократного сложения.Если я возьму резинку длиной 7 дюймов и растяну ее в 3 раза, ее окончательная длина составит

[3] x [7 ДЮЙМОВ] = 21 ДЮЙМ
Но я не брал 3 копии 7-дюймового ремешка и не соединял их вместе (дополнение), а масштабировал (растягивал) 7-дюймовый ремешок в 3 раза.

А как насчет использования умножения для вычисления площади прямоугольника? Если прямоугольник имеет размеры 90 277 пи 90 280 дюймов на 90 277 е 90 280 дюймов (где 90 277 е 90 280 — основание натуральных логарифмов), то его площадь равна

[ пи дюймов] х [ e дюймов] = пи. e кв.дюйм.
или, в приблизительном числовом выражении, 3,14 дюйма x 2,72 дюйма = 8,54 кв. дюйма. Опять же, обратите внимание на единицы. (Обратите внимание, что повторное добавление не поможет вам в этом примере.)

Существуют и другие приложения умножения, в которых множитель и множимое имеют разные интерпретации предметной области, но, поскольку я не хочу писать колонку на 414 страниц, я оставлю это в надежде, что вы поймете мою точку зрения.

Итак, какова моя ментальная концепция умножения? Это целостная смесь всего вышеперечисленного и нескольких вариантов, которые я не перечислил.Вот почему я говорю, что умножение сложно и многогранно. Доминирующий ментальный образ, который у меня есть, совершенно определенно является непрерывным масштабированием, и я вижу все остальные с точки зрения этого. Это означает, что моя концепция масштабирования в этом контексте является очень общей и охватывает такие примеры, как мои мешки с яблоками. Я могу рассматривать вычисление «3 мешка, в каждом из которых 5 яблок, всего 15 яблок» как «масштабирование» мешка с 5 яблоками в 3 раза. По моему опыту, овладение концепцией умножения равносильно созданию этой умственной амальгамы — амальгамы. это моя концепция умножения.

Я не знаю, как и когда я усвоил эту ориентированную на масштабирование концепцию умножения, и не могу передать ее словами (если только я просто не перечислил все ее многочисленные аспекты), но она была у меня, сколько я себя помню, и она определенно является единым, целостным понятием. Для меня эта концепция — то же самое, что умножение на . Таким образом, это числовая операция, которая соответствует очень общей форме масштабирования. Меня этому научили, или я просто развил его со временем? Я не знаю.Есть ли у других математиков такая же концепция? Вероятно, хотя, как я отмечал ранее, онтологическая природа умножения редко возникает в профессиональной математической деятельности, поэтому, вероятно, очень немногие удосужились поразмыслить над этим вопросом.

С другой стороны, масштабирование — это естественное физическое понятие, и абстрагирование от физического масштабирования к числовой операции умножения не сложнее, чем абстрагирование от физического действия по объединению двух длин вместе для получения числовой операции сложения. Преимущество подхода к умножению на основе масштабирования состоит в том, что результирующая числовая операция работает во всех случаях, тогда как подход MIRA работает только для положительных целых чисел. (Конечно, вы можете рассказывать истории, чтобы распространить полученное понятие RA на рациональные числа, но оно надумано, и окончательный переход к действительным числам проблематичен. Подход с масштабированием приводит вас к действительным числам за один раз, где действительные числа отождествляются с длинами. линий.)

Итак, для всех тех, кто спрашивал меня, это то, что I понимают под умножением: несколько обобщенное представление о , масштабирующем , построенное непосредственно на физической интуиции.И хотя, как я постоянно подчеркиваю, у меня нет опыта преподавания элементарной математики, я не могу понять, почему умножение не преподается таким образом.

Возможно, одна из причин того, что некоторые из нас более успешны в математике, чем другие, заключается в том, что нам удается формировать хорошие мыслительные концепции на ранних этапах процесса обучения. (Я не решаюсь использовать фразу «правильные понятия», так как я не знаю, что существует единственное правильное понятие умножения, и прекрасно осознаю свои собственные трудности с формулировкой своих слов.)


Угол Девлина обновлен в начале каждого месяца. Найти больше столбцов здесь. Подпишитесь на Кита Девлина в Твиттере в @nprmathguy.
Математик Кит Девлин (email: [электронная почта защищена]) Исполнительный директор Отдела гуманитарных наук Институт перспективных исследований и технологий (H-STAR) в Стэнфордском университете и Математик в выпуске выходного дня NPR.Его последний книга для широкого круга читателей Незаконченная игра: Паскаль, Ферма и Письмо семнадцатого века, сотворившее мир Современный, изданный Basic Books.

Что такое повторное добавление? — Определение, факты и примеры

Что такое повторное добавление?

Повторное добавление — это добавление равных групп вместе. Это также известно как умножение. Если одно и то же число повторяется, то мы можем записать это в форме умножения.

 

 

Например: 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Здесь 2 повторяется 5 раз, мы можем записать это сложение как 5 × 2. 

Точно так же, чтобы решить задачу на умножение путем многократного сложения, мы многократно группируем и складываем одно и то же число снова и снова, чтобы найти ответ.

Вот несколько примеров многократного сложения.

Вот еще один пример многократного сложения, используемого для умножения в текстовых задачах.

Есть 5 групп цыплят. В каждой группе по 3 курицы. Сколько всего цыплят?

Есть 5 групп.

В каждой группе по 3 курицы.

 Сложите, чтобы найти общее количество цыплят.

 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

 Умножьте, чтобы найти общее количество цыплят.

 5 × 3 = 15

Всего кур 15.

Поскольку умножение — это многократное сложение, каждое повторяющееся сложение можно записать двумя способами:

Например: 6 + 6 + 6 + 6 = 24 можно записать как 4 × 6 = 24, а также как 6 × 4 = 24

                                                                 

6 + 6 + 6 + 6 = 24

4 × 6 = 24

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24

6 × 4 = 24


Многократное сложение также полезно при изучении фактов умножения.Например, если вы еще не знаете фактов о 7 × 3, вам может быть проще вычислить 7 × 3, написав 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 или 7 + 7 + 7; а потом потихоньку добавляю. Это также может быть полезно с большими числами, такими как 5 × 40. Более удобно писать 40 + 40 + 40 + 40 + 40, а затем прибавлять десятки.

Интересные факты

  • В числовой строке можно пропустить счет, чтобы многократно складывать для умножения.

Что такое PEMDAS? — Определение, правило и примеры — Видео и стенограмма урока

Почему важен PEMDAS?

Без PEMDAS не существует указаний для получения только одного правильного ответа.В качестве очень простого примера, чтобы вычислить 2 * 4 + 7, я мог бы сначала умножить, а затем сложить, чтобы получить 15. У меня также есть возможность сначала сложить, затем умножить и получить 22. Какой ответ правильный? Используя PEMDAS, единственным правильным ответом является 15, потому что порядок букв в PEMDAS говорит мне, что умножение M должно выполняться перед сложением A.

Вот объяснение правил, данных в PEMDAS:

  1. P как первая буква означает, что вы сначала выполняете любые вычисления в символах группировки.
  2. Затем найдите показатели степени, E. Игнорируйте любые другие операции и возведите любые числа с показателями степени в соответствующие степени.
  3. Несмотря на то, что M для умножения в PEMDAS предшествует D для деления, эти две операции фактически имеют одинаковый приоритет. 2} + 12 / 4.3|, шаги будут следующими:

    Резюме урока

    PEMDAS — это аббревиатура от слов скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание. Для любого выражения сначала следует упростить все показатели степени, затем умножение и деление слева направо и, наконец, сложение и вычитание слева направо. Слово «скобка» стоит первым в этом аббревиатуре, чтобы указать, что любое выражение в символе группировки, таком как скобки, должно быть сначала упрощено.Этот приказ также можно запомнить, используя фразу «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли».

    Результаты обучения

    После изучения этого урока по PEMDAS вы обнаружите свою способность:

    • Осознать важность PEMDAS и произнести фразу, которая поможет вам запомнить порядок операций
    • Использование PEMDAS в математических выражениях
    • Понять, как PEMDAS применяется к выражениям с дробями и абсолютными значениями

    Как выполнять математические операции в JavaScript с помощью операторов

    Введение

    Математические операции являются одними из самых фундаментальных и универсальных возможностей любого языка программирования. В JavaScript числа часто используются для общих задач, таких как определение размера окна браузера, получение окончательной цены денежной транзакции и расчет расстояния между элементами в документе веб-сайта.

    Хотя знание математики на высоком уровне не является обязательным условием для того, чтобы быть способным разработчиком, важно знать, какие типы операций доступны в JavaScript и как использовать математику в качестве инструмента для выполнения практических задач.

    В отличие от других языков программирования, JavaScript имеет только один числовой тип данных; например, нет различия между целыми числами (положительными или отрицательными целыми числами) и числами с плавающей запятой (числа с десятичной точкой).

    В этом руководстве мы рассмотрим арифметические операторы, операторы присваивания и порядок операций, используемых с числовыми типами данных JavaScript.

    Арифметические операторы

    Арифметические операторы — это символы, обозначающие математическую операцию и возвращающие значение. В уравнении 3 + 7 = 10 + — это синтаксис, означающий сложение.

    В JavaScript есть много знакомых операторов из базовой математики, а также несколько дополнительных операторов, специфичных для программирования.

    Вот справочная таблица арифметических операторов JavaScript.

    Оператор Синтаксис Пример Определение
    Дополнение + х + у Сумма х и у
    Вычитание - х - у Разница между x и у
    Умножение * х * у Продукт размером x и у
    Отдел / х/у Частное x и y
    Модуль % х % у Остаток х/у
    Возведение в степень ** х ** у x до y мощность
    Приращение ++ х++ x плюс один
    Уменьшение -- х-- x минус один

    В этой статье мы более подробно рассмотрим каждый из этих операторов.

    Сложение и вычитание

    Операторы сложения и вычитания доступны в JavaScript и могут использоваться для нахождения суммы и разности числовых значений. В JavaScript есть встроенный калькулятор, а математические операции можно выполнять прямо в консоли.

    Мы можем выполнить простое сложение с числами, например сложить 10 и 20 , используя знак плюс ( + ).

      10 + 20;
      
      

    Выход

    30

    Помимо выполнения математических операций с простыми числами, мы также можем присваивать числа переменным и выполнять те же вычисления.В этом случае мы присвоим числовые значения x и y и поместим сумму в z .

      // Присвоить значения x и y
    пусть х = 10;
    пусть у = 20;
    
    // Добавляем x и y и присваиваем сумму z
    пусть г = х + у;
    
    console.log(z);
      
      

    Выход

    30

    Точно так же мы используем знак минус ( - ) для вычитания чисел или переменных, представляющих числа.

      // Присвоить значения x и y
    пусть х = 10;
    пусть у = 20;
    
    // Вычитаем x из y и присваиваем разницу z
    пусть г = у - х;
    
    приставка.журнал (г);
      
      

    Выход

    10

    Мы также можем складывать и вычитать отрицательные числа и числа с плавающей запятой (десятичные).

      // Присвоить значения x и y
    пусть х = -5,2;
    пусть у = 2,5;
    
    // Вычитаем y из x и присваиваем разницу z
    пусть г = х - у;
    
    console.log(z);
      
      

    Выход

    -7,7

    Одна интересная вещь, о которой следует помнить в JavaScript, — это результат сложения числа и строки. Мы знаем, что 1 + 1 должно равняться 2 , но это уравнение даст неожиданные результаты.

      пусть х = 1 + "1";
    
    консоль.лог(х);
    тип х;
      
      

    Выход

    11 'нить'

    Вместо сложения двух чисел JavaScript преобразует весь оператор в строку и соединит их вместе. Важно быть осторожным с динамически типизированной природой JavaScript, так как это может привести к нежелательным результатам.

    Распространенной причиной использования сложения или вычитания в JavaScript является прокрутка до идентификатора минус высота фиксированной панели навигации в пикселях.

      функция scrollToId() {
    константа navHeight = 60;
    window.scrollTo(0, window.pageYOffset - navHeight);
    }
    
    window.addEventListener('hashchange', scrollToId);
      

    В приведенном выше примере щелчок по идентификатору приведет к прокрутке на 60 пикселей выше идентификатора.

    Сложение и вычитание — два наиболее распространенных математических уравнения, которые вы будете использовать в JavaScript.

    Умножение и деление

    Операторы умножения и деления также доступны в JavaScript и используются для нахождения произведения и частного числовых значений.

    Звездочка ( * ) используется для обозначения оператора умножения.

      // Присвоить значения x и y
    пусть х = 20;
    пусть у = 5;
    
    // Умножаем x на y, чтобы получить произведение
    пусть г = х * у;
    
    console.log(z);
      
      

    Выход

    100

    Умножение может использоваться для расчета цены товара после применения налога с продаж.

      константная цена = 26,5; // Цена товара до налогообложения
    const налоговая ставка = 0,082; // 8.2% налоговая ставка
    
    // Рассчитываем сумму после уплаты налогов с точностью до двух знаков после запятой
    пусть totalPrice = цена + (цена * налоговая ставка);
    пусть fixedPrice = totalPrice.toFixed(2);
    
    console.log("Всего:", fixedPrice);
      
      

    Выход

    Итого: 28,67

    Косая черта ( / ) используется для обозначения оператора деления.

      // Присвоить значения x и y
    пусть х = 20;
    пусть у = 5;
    
    // Делим y на x, чтобы получить частное
    пусть г = х/у;
    
    console.log(z);
      
      

    Выход

    4

    Деление особенно полезно при подсчете времени, например, при определении количества часов в количестве минут или при подсчете процента правильных ответов, выполненных в тесте.

    Модуль

    Один арифметический оператор, который немного менее известен, — это оператор по модулю (иногда известный как модуль), который вычисляет остаток от частного после деления. Модуль представлен знаком процента ( % ).

    Например, мы знаем, что 3 входит в 9 ровно три раза, и остатка нет.

      9 % 3;
      
      

    Выход

    0

    Мы можем использовать оператор по модулю, чтобы определить, является ли число четным или нечетным, как видно из этой функции:

      // Инициализировать функцию для проверки четности числа
    const isEven = x => {
    // Если остаток после деления на два равен 0, возвращаем true
    если (х% 2 === 0) {
    вернуть истину;
    }
    // Если число нечетное, возвращаем false
    вернуть ложь;
    }
    
    // Проверяем число
    четный (12);
      
      

    Выход

    истина

    В приведенном выше примере 12 делится без остатка на 2 , поэтому это четное число. 5, записывается так:

      10 ** 5;
      
      

    Выход

    100000

    10 ** 5 равно 10 , умноженному на 10 пять раз:

      10*10*10*10*10;
      

    Другой способ записать это с помощью метода Math.pow() .

      Math.pow(10, 5);
      
      

    Выход

    100000

    Использование оператора возведения в степень — это краткий способ нахождения степени заданного числа, но, как обычно, при выборе между методом и оператором важно придерживаться стиля вашей кодовой базы.

    Увеличение и уменьшение

    Увеличение и уменьшение операторы увеличивают или уменьшают числовое значение переменной на единицу. Они представлены двумя знаками плюс (++) или двумя знаками минус (-) и часто используются с циклами.

    Обратите внимание, что операторы увеличения и уменьшения можно использовать только для переменных; попытка использовать их для необработанного числа приведет к ошибке.

      7++
      
      

    Вывод

    Uncaught ReferenceError: Недопустимое левое выражение в постфиксной операции

    Операторы инкремента и декремента могут классифицироваться как префиксные или постфиксные операции, в зависимости от того, стоит ли оператор до или после переменной.

    Во-первых, мы можем ввести приращение префикса с помощью ++x .

      // Установить переменную
    пусть х = 7;
    
    // Используем операцию увеличения префикса
    пусть префикс = ++x;
    
    console.log(префикс);
      
      

    Выход

    8

    Значение x увеличено на единицу. Чтобы увидеть разницу, мы проверим приращение постфикса с помощью y++ .

      // Установить переменную
    пусть у = 7;
    
    // Используем операцию увеличения префикса
    пусть постфикс = у++;
    
    приставка.лог(постфикс);
      
      

    Выход

    7

    Значение и не было увеличено в постфиксной операции. Это связано с тем, что значение не будет увеличиваться до тех пор, пока выражение не будет вычислено.

    Оператор увеличения или уменьшения чаще всего встречается в цикле. В этом примере цикла для мы выполним операцию десять раз, начиная с 0 и увеличивая значение на 1 с каждой итерацией.

      // Запустить цикл десять раз
    для (пусть я = 0; я < 10; я ++) {
      console.log(я);
    }
      
      

    Выход

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    В приведенном выше коде показана итерация цикла, который достигается с помощью оператора приращения.

    Мы можем рассматривать x++ как сокращение для x = x + 1 , а x -- как сокращение для x = x - 1 .

    Операторы присваивания

    Одним из наиболее часто используемых операторов является оператор присваивания , который мы уже видели и который представлен знаком равенства ( = ). Мы используем = , чтобы присвоить значение справа переменной слева.

      // Присвоить 27 переменной age
    пусть возраст = 27;
      

    В дополнение к стандартному оператору присваивания в JavaScript имеется составных операторов присваивания , которые объединяют арифметический оператор с = .

    Например, оператор сложения начнет с исходного значения и добавит новое значение.

      // Присвоить 27 переменной age
    пусть возраст = 27;
    
    возраст += 3;
    
    приставка.журнал(возраст);
      
      

    Выход

    30

    В этом случае age += 3 равнозначно написанию age = age + 3 .

    Все арифметические операторы можно комбинировать с присваиванием для создания составных операторов присваивания. Ниже приведена справочная таблица операторов присваивания в JavaScript.

    Оператор Синтаксис
    Назначение =
    Дополнительное назначение +=
    Назначение вычитания -=
    Назначение умножения *=
    Назначение отдела /=
    Оставшееся назначение %=
    Возведение в степень **=

    Составные операторы присваивания часто используются с циклами, подобно инкрементации и декрементации, и используются, когда необходимо повторить или автоматизировать уравнения.

    Приоритет оператора

    Хотя мы читаем слева направо, операторы будут оцениваться в порядке старшинства, как и в обычной математике.

    В следующем примере умножение имеет более высокий приоритет, чем сложение, которое определяет результат уравнения.

      // Сначала умножьте 3 на 5, затем прибавьте 10
    10+3*5;
      
      

    Выход

    25

    Если вместо этого мы хотели бы сначала выполнить операцию сложения, мы должны сгруппировать ее в круглых скобках, которая всегда имеет наивысший приоритет.

      // Сначала сложите 10 и 3, затем умножьте на 5
    (10+3)*5;
      
      

    Выход

    65

    Ниже приведена справочная таблица приоритетов арифметических операций в JavaScript, от высшего к низшему. Для инкрементации и декрементации постфикс имеет более высокий приоритет, чем префикс.

    Увеличение/уменьшение, умножение/деление и сложение/вычитание имеют одинаковый уровень приоритета.

    Оператор Синтаксис
    Скобки ()
    Приращение ++
    Уменьшение --
    Возведение в степень **
    Умножение *
    Отдел /
    Дополнение +
    Вычитание -

    Приоритет оператора включает не только арифметические операторы, но и операторы присваивания, логические операторы, условные операторы и многое другое.Чтобы увидеть полный список, просмотрите приоритет операторов в Mozilla Developer Network (MDN).

    Заключение

    В этой статье мы рассмотрели арифметические операторы и синтаксис, в том числе многие знакомые математические операторы и несколько специфичных для программирования.

    Кроме того, мы узнали, как сочетать арифметику и присваивание для создания составных операторов присваивания, а также порядок операций в JavaScript.

    В Excel нет формулы умножения, но вы можете умножать в Excel

    Несмотря на отсутствие «формулы умножения в Excel», существует несколько способов умножения в Excel.Например, вы используете звездочку (*) для умножения, но упираетесь в кирпичную стену, когда применяете другие арифметические операторы? Как насчет ярлыков для умножения многих чисел за один шаг?

    Ознакомьтесь с тремя эффективными способами выполнения формулы умножения в Excel.

    1. Умножение на *

    Чтобы написать формулу, умножающую два числа, используйте звездочку (*). Например, чтобы умножить 2 на 8, введите «=2*8».

    Используйте тот же формат для умножения чисел в двух ячейках: «=A1*A2» умножает значения в ячейках A1 и A2.). В этих случаях помните, что Excel выполняет операции в порядке PEMDAS: сначала круглые скобки, затем степени, умножение, деление, сложение и вычитание.

    В следующей формуле «=2*3+5*6» Excel сначала выполняет две операции умножения, получая 6+30, и складывает произведения, чтобы получить 36.

    Что делать, если вы хотите добавить 3+5 перед выполнением умножения? Используйте скобки. Excel всегда будет оценивать что-либо в круглых скобках перед возобновлением оставшихся вычислений после PEMDAS.В случае «=3*(3+5)*6» Excel сначала добавляет 3 и 5, в результате чего получается 8. Затем он умножает 3*8*6 и достигает 144.

    Если у вас есть проблемы с запоминанием порядка PEMDAS, используйте мнемонический прием тети Салли: используйте первые буквы предложения «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли».

    2. Умножение с функцией ПРОИЗВЕД

    Если вам нужно умножить несколько чисел, вам может пригодиться сокращенная формула ПРОИЗВЕД, которая умножает все числа, которые вы заключаете в скобки.
    Аргументы могут быть:

    • Числа или формулы, разделенные запятыми, например:

    =ПРОИЗВЕД(3,5+2,8,3,14)

    Это эквивалентно =3*(5+2)*8*3,14.

    • Ссылки на ячейки, разделенные запятыми, например:

    =ПРОИЗВЕД(A3,C3,D3,F3).

    Это эквивалентно =A3*C3*D3*F3.

    • Диапазон ячеек, содержащих числа, или несколько диапазонов, разделенных запятыми, например:

    =ПРОДУКТ(F3:F25),

    , что эквивалентно =F3*F4*F5*(и так далее, вплоть до)*F25, или:

    =ПРОИЗВЕД(F3:F25,h4:h35).

    • Любая комбинация чисел, формул, ссылок на ячейки и диапазонов.

    В каждом случае Excel умножает все числа, чтобы найти произведение. Если ячейка в диапазоне пуста или содержит текст, Excel исключает значение этой ячейки из расчета. Если ячейка в диапазоне равна нулю, произведение будет равно нулю.

    3. Умножение диапазонов с функцией СУММПРОИЗВ

    Рассмотрим следующий счет. Формула в столбце E (с формулой, показанной справа от таблицы) умножает количество на цену, чтобы получить расширенную цену.Сумма в ячейке E7 суммирует расширенные цены.

    Но что, если вы не хотите, чтобы расширенные цены отображались как отдельные расчеты? Что, если вы хотите сделать все это за один шаг?

    Попробуйте функцию СУММПРОИЗВ, которая умножает ячейки в двух диапазонах и суммирует результаты.

    СУММПРОИЗВ(D2:D5,C2:C5) умножает D2*C2, D3*C3 и т. д. и суммирует результаты. Обратите внимание, что результат 84,50 такой же, как и в предыдущем примере.

    Эта функция бесценна для расчета средневзвешенных значений, таких как оценки в классе или цены на основе переменного налога штата, в котором вы умножаете диапазон значений на диапазон, содержащий веса.

    Следующие шаги

    Это всего лишь три метода умножения чисел в формулах Excel. Когда вы освоите их, попробуйте формулу ПРОИЗВЕД, которая умножает все числа в диапазоне, если выполняется условие.

    А пока попробуйте смешивать и сопоставлять формулы умножения, используя любые комбинации вместе с другими арифметическими функциями, для создания сложных математических моделей.

    Как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

    Прежде чем вы сможете освоить более сложные понятия алгебры и геометрии, вам необходимо сначала освоить все математические функции, связанные с дробями.В этой статье мы рассмотрим, как складывать, вычитать, умножать и делить две дроби, а также дробь и целое число. Мы также введем сложные дроби вместе с методами их упрощения. Прежде чем продолжить, убедитесь, что вы полностью понимаете четыре основных математических операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

    Ключевые термины

    o Общий знаменатель

    o Взаимный

    o Комплексная фракция

    Цели

    o Узнать

    o Понимать, как интерпретировать дроби, содержащие отрицательные числа

    o Распознавать и упрощать сложные дроби

    Теперь, когда мы разработали прочную основу относительно того, что такое дроби, а также о некоторых различных типах дробей, теперь мы можем перейти к применению основных арифметических операций (сложение, вычитание, умножение и деление) к дробям.

    Сложение и вычитание

    В случаях, когда речь идет о простых числах, сложение и вычитание дробей достаточно просто. Например, добавление одной трети и одной трети, очевидно, дает нам две трети. Точно так же три пятых минус две пятых — это одна пятая. Первый случай проиллюстрирован ниже.

    А как быть с такими случаями, как половина плюс одна треть?

    Обратите внимание, что складывать (вычитать) дроби с одинаковым знаменателем очень просто — мы просто складываем (вычитаем) числители и делим на тот же знаменатель.Мы уже должны знать, что можем написать эквивалентные дроби, которые имеют разные числители и знаменатели. Таким образом, если мы просто преобразуем одну или обе дроби, которые мы складываем или вычитаем, в эквивалентные дроби с тем же знаменателем, то мы можем складывать дроби простым способом, описанным выше. Затем, при необходимости, мы можем уменьшить результат до минимальных значений.

    Задача при сложении и вычитании дробей состоит в том, чтобы найти общий знаменатель . Самый простой способ найти общий знаменатель — просто умножить два существующих знаменателя, а затем соответствующим образом преобразовать числители, чтобы получить эквивалентные дроби.Хотя этот подход концептуально прост, он может быть математически сложным, когда знаменатели велики. Тем не менее, давайте попробуем этот подход для иллюстрации. Обратите внимание на упомянутое выше дополнение.

    Общий знаменатель равен 6 (или 23), потому что мы можем умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы получить , и мы можем умножить числитель и знаменатель на 2, чтобы получить . Добавление тогда просто.

    Практическая задача: Подсчитайте результат в каждом случае.

    а. б. в.

    Решение: В каждом случае найдите общий знаменатель и преобразуйте члены в эквивалентные дроби с этим знаменателем. Для каждого случая дается один возможный общий знаменатель. Сумма (разность) дробей есть сумма (разность) числителей над общим знаменателем. Если применимо, уменьшите результат до самых низких значений.

    а. Общий знаменатель: 21

    б. Общий знаменатель: 8

    в.Общий знаменатель: 45

    Умножение и деление

    Умножать и делить дроби в некотором роде проще, чем их складывать и вычитать. Допустим, мы хотим умножить на . Интуитивно ответ довольно очевиден: половина половины — это четверть (или одна четвертая). Например, если у вас есть 50 центов (полдоллара) и вы хотите умножить их на половину, то вы получите 25 центов (четверть доллара).

    Чтобы умножить две дроби, просто умножьте числители и умножьте знаменатели, чтобы получить произведение.В некоторых случаях товар уже будет в наименьших условиях; в других вам может потребоваться уменьшить его до самых низких значений. Например, произведение и будет следующим:

    При умножении дроби на целое число помните, что любое целое число — это просто дробь с целым числом в числителе и 1 в знаменателе. Например,

    Практическая задача : Рассчитайте следующие произведения.

    Решение : В каждом случае произведение равно произведению числителей на произведение знаменателей.Если один из множителей является целым числом, рассматривайте его как дробь, имеющую целое число в числителе и 1 в знаменателе. Сократите продукт до самых низких условий, если это применимо.

    а. б.

    в.

    Теперь рассмотрим случай деления. Допустим, мы хотим разделить на . Интуитивно ответ равен 2. Например, 25 центов (четверть доллара) могут дважды превратиться в 50 центов (полдоллара).

    Заметьте выше, что если бы мы перевернули второй множитель так, чтобы числитель стал знаменателем, а знаменатель стал числителем, а также изменили операцию деления на умножение, мы получили бы тот же результат.

    На самом деле это удобный способ деления дробей. Деление на дробь равносильно умножению на , обратное этой дроби. Обратное — это просто «перевернутая» дробь. Так, например, обратная величина равна (или ).

    Как и при умножении дробей, помните, что целое число также можно записать в виде дроби. Так, например, обратное число 6 равно . Поэтому мы можем делить дроби на целые числа так же, как и на другие дроби.Кроме того, обратите внимание, что произведение дроби и ее обратной всегда равно 1. Рассмотрим пример ниже.

    В свете того, как мы определили деление и умножение, мы можем дать более строгое обоснование нашего метода вычисления эквивалентных дробей. Обратите внимание, что число 1 можно записать как любое другое число, разделенное само на себя. Например,


    Таким образом, процесс нахождения эквивалентных дробей есть не что иное, как умножение данной дроби на 1! Рассмотрим пример ниже.

    Практическая задача : Вычислите следующие частные.

    а. б. в.

    Решение : В каждом случае умножьте делимое на обратную величину делителя. Сократите продукт до самых низких условий, если это применимо.

    а. б. в.

      

    Дроби и отрицательные числа

    Поскольку дроби — это не что иное, как представление деления, у нас уже есть инструменты, необходимые для понимания роли отрицательных чисел в дробях.Напомним, что произведение (или частное) двух отрицательных или двух положительных чисел положительно, а произведение (или частное) одного отрицательного числа и одного положительного числа отрицательно. Итак, рассмотрим на примере дроби ; мы рассмотрим каждый возможный случай.

    В первом случае (числитель и знаменатель имеют одинаковый знак) результатом является положительное число. Во втором случае (числитель и знаменатель имеют противоположные знаки) результатом является отрицательное число.Таким образом, во втором случае мы можем иногда просто ставить знак минус рядом со всей дробью, а не рядом с числителем или знаменателем. Тем не менее, обратите внимание, что все три представления равны, и в некоторых ситуациях одно может быть более полезным, чем другое.

    Сложные дроби


    Напомним, что дробь — это просто способ выражения деления двух чисел (где числитель — это делимое, а знаменатель — делитель).Поскольку мы можем делить дроби, мы также можем выразить это деление как «долю дробей» или сложных дробей. Ниже приведен пример сложной дроби. Обратите внимание, что для ясности дроби в числителе и знаменателе сложной дроби показаны «наклонными» — однако это изменение не означает никакой математической разницы.

    Такие дроби можно и часто нужно упрощать. Для этого мы можем воспользоваться одним из нескольких подходов. Напомним, что мы можем найти эквивалентную дробь, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число.Таким образом, один из подходов состоит в том, чтобы умножить как числитель, так и знаменатель сложной дроби на произведение знаменателей простых дробей, как показано ниже.

    В качестве альтернативы мы можем умножить и числитель, и знаменатель сложной дроби на обратную величину ее знаменателя.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2019 © Все права защищены. Карта сайта